Minggu, 22 Januari 2012


makalah
”Persamaan dan Pertidaksamaan Irrasional serta
Grafiknya”


                                                      

Oleh kelompok III:
Nama                 :  Irhamullah (VII)
                           :  Qamariah
                           :  Mistia Harpiani
                           :  Rohmatul Amna   
                           :  Syamsul Hadi
                           :  Yunika Anggraini

Smester/Kelas   :   I/C      

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
 JURUSAN MIPA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) HAMZANWADI SELONG
TAHUN AKADEMIK 2011/2012


KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa, maha pengasih, maha penyayang, maha segala-galanya yang dengan segala rahmat, taufik dan hidayah-Nya sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Shalawat serta salam selalu tercurahkan kepada junjungan alam Nabi Besar Muhammad SAW. Beserta keluarga dan sahabat-sahabat beliau yang telah membimbing ummat manusia dari alam gelap gulita menuju alam yang terang benderang.
Persamaan dan pertidaksamaan irrasional merupakan salah satu bagian yang tidak dapat dipisahkan dalam matematika. Karena sangat berhubungan dengan bilangan irrasional. Dengan adanya makalah ini semoga bermanfaat bagi penulis, dan pembaca pada umumnya.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun guna perbaikan di masa yang akan datang.


               Penulis,






DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..................................................................................     
DAFTAR ISI.................................................................................................     
BAB I PENDAHULUAN............................................................................     
a.       Latar Belakang...................................................................................      
b.      Rumusan Masalah..............................................................................      
c.       Tujuan................................................................................................      
BAB  II  PEMBAHASAN...........................................................................     
a.       Persamaan irrasional...........................................................................      
b.      Pertisaksamaan irrasional...................................................................      
c.       Fungsi irrasional.................................................................................      
BAB III PENUTUP.....................................................................................     
a.       Kesimpulan........................................................................................      
b.      Saran .................................................................................................      






           

BAB I
PENDAHULUAN
a.        Latar Belakang
Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sangat penting dalam kehidupan sehari – hari. Manusia dalam melakukan kegiatan sehari – hari tentunya tidak lepas dari apa yang ada dalam matematika. Akan tetapi kebanyakan orang tidak menyadari bahwa apa yang dilakukannya tersebut merupakan bagian dari matematika. Kegiatan – kegiatan seperti menghitung bilangan, menjumlahkan dan lain sebagainya merupaka bagian dari cabang ilmu matematika yang paling dasar.
b.        Rumusan Masalah
Dalam makalah ini terdapat beberapa rumusan masalah yaitu:
a.       Apa itu persamaan dan pertidaksamaan  irrasional?
b.      Bagaimana menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan irrasional?
c.       Bagaimana membuat grafik fungsi irrasional?
c.         Tujuan
a.       Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan persamaan dan pertidaksamaan irrasional.
b.      Untuk mengetahui bagaimana cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan irrasional.
c.       Untuk mengetahui cara membuat grafik fungsi irrasional.


BAB II
PEMBAHASAN
A.    Persamaan irrasional
Persamaan irrasional ialah persamaan yang mengandung arti di dalam tanda akar, umpama:  = x – 5. Sebelum mempelajari persamaan ini, lebih lanjut diperingatkan dahulu bahwa:
1.        Akar dari suatu bilangan positif adalah positif, umpama  = 4,  = 5 dan sebagainya.
2.        Oleh karena semestanya adalah bilangan – bilangan nyata, maka bilangan di dalam akar (akar) harus positif atau nol. Umpama:  selalu terikat oleh syarat 3 – x ≥ 0 atau x ≤ 3.
Persamaan irrasional diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruasnya. Tetapi  Di dalam mengkuadratkan ruas – ruas suatu persamaan perlu diingat dalil – dalil berikut:
Dalil I.                                              
            Apabila A dan B kedua – duanya sama – sama positif atau nol atau sama – sama negative atau nol, maka persamaan A = B ekuivalen dengan A2 = B2.
Bukti:
Apabila A = B maka A2 = B2.
Sebaliknya jika A2 = B2 maka 1). A = B, 2) A = -B. untuk no 1 sudah jelas, sedang untuk no 2 jika ruas kiri positif atau nol, maka ruas kiri negative atau nol, dan sebaliknya, yang berarti kedua ruas itu harus nol, jadi A = B lagi.
Akibat:
Persamaan c =  ↔ c2 = D, c ≥ 0.
Contoh:
Hitunglah x,  + x = 15.
Penyelesaian:
Bentuk persamaan diubah  = 15 – x ………..(1)
  nyata jika x≥ 3. Sesudah demikian ruas kanan harus positif, jadi x≤15.
Maka kedua ruas dalam persamaan (1) boleh dikuadratkan
x – 3 = 225 – 30x + x2.
x2 31x + 228 = 0
(x - 12)(x - 19) = 0
x1 = 12, x2 = 19
mengingat syarat x ≥ 3 dan x ≤ 15, maka yang merupakan  penyelesaiannya adalah x = 12.
Contoh 2:
Selesaikan :  +  =
Penyelesaiannya:
Syarat – syarat supaya akar – akar itu nyata adalah:
2x – 3 ≥ 0
4x + 1 ≥ 0                           x ≥ 1
6x + 28 ≥ 0
Maka bentuk di atas sekarang boleh dikuadratkan:
2x – 3 + 4x + 1 + 2 = 6x + 28
 = 15
Di bawah syarat x ≥ 1 ruas kiri masih positif, jadi boleh dikuadratkan lagi
8x2 – 10x – 3 = 225
8x2 – 10x – 228 = 0 ↔ 4x2 – 5x – 114 = 0
(4x + 9)(x - 6) = 0↔ x1 = , x2 = 6.
Karena syarat x ≥ 1 maka yang merupakan penyelesaiannya adalah x = 6.
Contoh 3:
Selesaikan  +  =
Penyelesaian:
Agar bentuk – bentuk akar itu nyata, maka syaratnya 2x – 9 ≥ 0, 3x – 15 ≥ 0 dan 7x – 8 ≥ 0, yaitu x  ≥ 5, bentuk persamaan diubah, supaya ruas itu positif:
 +  = , kemudian dikuadratkan.
Mengingat syarat ,maka ruas kiri negative, sedang ruas kanan , jadi tak mungkin sama, sehingga persamaan di atas adalah palsu.
Contoh 4
            Selesaikan :   + 
Penyelesaian :
            Supaya bentuk-bentuk akar itu nyata, maka syaratnya . Setelah itu kedua ruas boleh dikuadratkan.
            Mengingat syarat , maka ruas kanan itu negative, jadi persamaan itu palsu.
Ada kemungkinan sebelum mengerjakan lebih lanjut, bentuk akar mempunyai factor persekutuan.
Contoh 5 :
            Selesaikanlah
Penyelesaian :
Ternyata bentuk-bentuk di atas mempunyai factor persekutuan yaitu , karena masing-masing akar dapat diuraikan sebagai berikut:
Maka  adalah akar
Tinggallah :
Syarat supaya bentuk-bentuk akar itu nyata terus dikuadratkan:                                               
Di bawah syarat  ruas kanan masih positif, maka terus boleh dikuadratkan lagi:
Oleh karena x harus , maka x12 tidak memenuhi (bukan akar). Pemfaktoran persamaan yang diketahui dapat pula dilakukan sebagai berikut:
I
Sehingga kalau factor  yaitu x = 1 tentu memenuhi I, selanjutnya persamaan yang tinggal adalah
 ………… II
Supaya nyata syaratnya , kemudian II boleh dikuadratkan
Untuk  ruas kanan bisa positif, negative atau nol. Supaya ruas kanan positif, maka. Maka lalu boleh dikuadratkan:
Mengingat syaratnya  maka x2 = -4 adalah akar.
Jadi persamaan yang diketahui mempunyai dua buah akar  ialah
x = 1 dan x = -4
contoh 6:
apakah pengaruh c pada  = x – 3.
penyelesaian:
ruas kanan  positif atau nol apabila x – 3 ≥ 0 yaitu bila x ≥ 3. Seterusnya dikuadratkan:
                                             x2 + c = x2 – 6x + 9              x = .
Harga ini memenuhi syarat bila x =  ≥ 3, yaitu bila c ≤ -9.
Kesimpulannya ialah persamaan diatas palsu jika c > 9 dan memberi hasil jika c ≤ -9 dan hasil itu  .
Contoh 7:
Apakah pengaruh m pada persamaan  = x – 3.
Penyelesaian:
Ruas kanan harus x – 3 ≥ 0, yaitu jika x ≥ 3. Seterusnya dikuadratkan:
 2x2 + mx + 6 = x2 – 6x + 9
x2 + (m + 6)x – 3 = 0
suatu akar persamaa ini yang memenuhi persamaan yang diketahui, apabila m am < 0 dimana  = x2 + (m + 6)x – 3
jadi: 1. (9 + 3m + 18  -3) ≤ 0            m ≤ 8
kesimpulan:
jika m ≤ 8 persamaan yang diketahui mempunyai sebuah akar ≥ 3 dan jika m > -8 persamaan yang diketahui palsu.


Cara kedua:

 = x – 3. Syarat x – 3 ≥ 0           x ≥ 3.
Dikuadratkan 2x2 + mx + 6 = x2 – 6x + 9
x2 + (m + 6)x -3 = 0
x1 + x2 = -m – 6………..(1)
x1x2 = -3……………….(2)
x1 ≥ 3…………………..(3) (yaitu syarat tadi pada ruas kanan)
dari (2)            x1 =  masuk persamaan (3) menjadi:
 ≥ 3                ≤ 0
+ + +  - - -  + + +              -1 < x ≤ 0.
     -1         0
Karena -1 < x ≤ 0 maka f (-1). F (0) ≤ 0, yaitu
(1 – m - 6 - 3)(0 + 0 - 3) ≤ 0                -m – 8 ≥ 0, m ≤ -8.

·         Akar Dua adalah Bilangan Irasional
Akar dua yang dilambangkan dengan x2, adalah suatu bilangan, sebut saja x, yang memenuhi x2=2. Bilangan x2 muncul sebagai akibat adanya teorema yang kebenarannya ditunjukan oleh Phytagoras, seorang filsuf dari Yunani.
Misalkan sebuah segitiga siku-siku dengan panjang masing-masing sisi siku-sikunya adalah a dan b. Dan panjang sisi miringnya adalah c,maka akan memenuhi persamaan:
c2 = a2 + b2
Apabila segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-sikunya adalah 1, maka panjang sisi miringnya, yang dinamai c, memenuhi persamaan berikut:
cc2 = 12+ 12
c2 = 1 + 1
c2 = 2
c = x2
Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan bilangan rasional. Sedangkan, yang dimaksud dengan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk p/q dengan p dan q masing-masing bilangan bulat dan q tidak sama dengan 0. Semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional. Misalkan n adalah suatu bilangan bulat, maka n senantiasa dapat dituliskan sebagai n/1.


Contohnya:
5=5/1
12=12/1
Selain bilangan bulat ada bilangan rasional yang dikenal sebagai bilangan pecahan, salah satu contohnya bilangan yang lambangnya 1/2, dibaca satu per dua atau dikenal dengan nama setengah. Contoh yang lain adalah 3/4 dibaca tiga per empat. Dan masih tak hingga banyak lagi contoh yang lain.
Dilihat dari penulisannya, sebuah bilangan rasional terdiri atas 2 bagian, yaitu bagian atas dikatakan sebagai pembilang dan bagian bawah dikatakan sebagai penyebut dari sebuah bilangan rasional. Apabila pada suatu bilangan rasional, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih kecil dari 1. Dan apabila pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka nilai bilangan rasional itu lebih besar dari 1. Sedangkan apabila pembilangnya sama dengan penyebutnya maka nilai bilangan rasional itu sama dengan 1.
Kalau dihitung dengan kalkulator x2=1,414213562...
Kalau dilihat pada garis bilangan, x2 terletak diantara bilangan bulat 1 dan 2.
akardua
Untuk menunjukkan bahwa x2 bilangan irasional, harus ditunjukkan bahwa x2 bukan bilangan rasional. Karena x2 jelas bukan bilangan bulat, maka bilangan rasional yang dimaksudkan dalam tulisan ini adalah bilangan rasional yang berbentuk pecahan.
Cara yang digunakan adalah dengan pengandaian bahwa x2 merupakan bilangan rasional, kemudian bila terjadi suatu kontradiksi berarti pengandaiannya salah. Andaikan x2 adalah bilangan rasional, maka x2 dapat dituliskan dalam bentuk pecahan yang sederhana. Maksudnya x2 ditulis dalam bentuk p/q untuk p dan q masing-masing bilangan bulat dan q tidak sama dengan 0 dan p/q yang dimaksud dalam pengandaian merupakan bentuk yang paling sederhana, sehingga p dan q keduanya tidak dapat dibagi bilangan yang sama.
Pernyataan diatas dapat dituliskan dalam bentuk peasamaan sebagai berikut:
x2 =p/q
Sifat persamaan yang sudah dikenal sejak mulai belajar aljabar adalah suatu persamaan akan tetap ekivalen jika bagian kiri dan bagian kanannya masing-masing dikalikan dengan bilangan yang sama.
Disini persamaan  bagian kiri dan kanannya dikalikan dengan q, sehingga diperoleh:
qx2 =p.
Sifat persamaan lagi, suatu persamaan akan tetap ekivalen jika bagian kiri dan kanannya masing-masing dikuadratkan sehingga diperoleh:
2q2=p2
Dari 2q2=p2, berarti p2 adalah bilangan  kelipatan 2. Jadi p2 genap, maka p adalah bilangan genap.
Sekarang, karena p genap, maka p adalah bilangan kelipatan dua, sehingga dapat dituliskan p = 2k, untuk suatu k bilangan bulat.
Kembali ke persamaan , yaitu 2q2=p2 diperoleh sebuah persamaan:
2q2=(2k)2
2q2=4k2
Dengan menggunakan sebuah sifat persamaan lagi, suatu persamaan akan tetap ekivalen jika bagian kiri dan bagian kanannya masing-masing dibagi dengan bilangan yang sama.
Persamaan  bagian kiri dan kanannya dibagi dengan 2 , maka diperoleh persamaan:
q2=2k2
yang berarti juga q2 adalah bilangan genap. Karena q2 genap, maka q adalah bilangan genap.
Karena p dan q keduanya bilangan genap, maka p dan q masing-masing dapat dibagi oleh dua. Hal ini tidak sesuai dengan pengandaian x2 =p/q yang menyatakan p dan q tidak dapat dibagi oleh bilangan yang sama.
Terlihat adanya kontradiksi, yang menunjukkan pengandaian salah. Maka tidak benar x2 dapat dituliskan sebagai p/q dengan p dan q bilangan bulat dengan q tidak sama dengen 0 dan p/q merupakan bentuk paling sederhana. Berarti x2 bukan bilangan rasional. Jadi ... x2 adalah bilangan irasional.
Contoh bilangan irasional yang lain adalah x3 yang merupakan diagonal dari sebuah kubus yang panjang ruruknya 1. Bilangan irasional yang lain lagi adalah , e dan lain-lain
Ditulis oleh :Rini DS Tarmidi, ibu rumah tangga      
B.     Pertidaksamaan irrasional
Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam  tanda akar.
Penyelesaian:
• Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).
• Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
• Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
0)...(2)
³syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (
(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
• Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.
Contoh:
(x-2)
Ö1.  < 2
 kuadratkan
®
x - 2 < 4
x < 6
 syarat :
®
 0
³ x - 2 
 2
³ x

 x
£ 2  < 6 (2x + 1)Ö(-x + 3) - Ö 2. > 0
seimbangkan
(-x+3)
Ö > (2x+1)Ö
 kuadratkan
®
-x + 3 > 2x + 1
3x < 2
x < 2/3


 syarat :
®
 3
£ x ® 0 ³-x + 3
dan
 -1/2
³ x ®  0³2x + 1

 x
£-1/2  < 2/3

ax² + bx + c >  0.
¹0 dengan a, b, c konstanta; a
Penyelesaian:
• Jadikan ruas kanan = 0
• Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
• Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
• Tetapkan nilai-nilai nolnya
• Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
• Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
contoh:
x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0

x < -2 atau x > 1

·         Fungsi irrasional
Sebelum mempelajari fungsi irrasional dengan grafiknya, terlebih dahulu kita pelajari pertidaksamaan linear dengan dua anu.
Contoh :
Carilah harga-harga y dimana y > 2x – 3
Penyelesaian :
Mula-mula kita lukis grafik y = 2x – 3 , yaitu berupa garis lurus. Garis ini memotong sumbu x dan y pada () dan (0, -3).
setiap titik P pada garis ini, koordinatnya memenuhi persamaan y = 2x – 3. Umpama P (3,3). Tetapi titik-titik di luar garis tersebut, tidak memenuhi persamaan  y = 2x – 3. Jadi umpama untuk titik titik Q dan R, y ≠ 2x – 3. Untuk titik R (2,2) maka y < 2x – 3, sdang untuk titik titik Q: y > 2x – 3. Maka y > 2x – 3 akan dipenuhi oleh semua ordinat dari titik – titik yang terletak di atas garis y = 2x – 3 sedang y < 2x – 3 dipenuhi oleh ordinat titik – titik di bawah garis y = 2x – 3.


Daerah positif dan negative.
Gambarlah garis 2x + 3y – 6= 0. Dan tentukanlah daerah negative dan positifnya.
g aris memotong sumbu x dan y pada titik (3,0) dan (0,2). Jika titik O (0,0) diisika pada 2x – 3y – 6 didapat 0 – 0 – 6 = -6 (negatif).
Setiap titik pada garis tersebut koordinatnya memenuhi persamaan (bernilai nol).
Jadi daerah yang sepihak dengan titik 0 terhadap garis 2x – 3y – 6 = 0adalag daerah negative. Sedangkan daerah yang tidak sepihak dengan 0 terhadap garis


C.  GRAFIK FUNGSI IRRASIONAL
Contoh 1.
Lukislah grafik fungsi y = \ …………… I
Penyelesaian:
Dalam hal hal ini tentulah x – 1 ≥ 0; x  ≥ 1 dan dengan demikian maka juga y ≥ 0. Jadi semua ordinat dari grafik tersebut berada pada atau diatas sumbu x. kalau I dikuadratkan didapat  y2 = x – 1 ↔ x  =  y2 + 1 …………… II
Grafik fungsi II  adalah  parabola yang terbuka kekanan dan melalui titik (1,0). Dengan demikian maka grafik I adalah parabola  II tetapi yang terletak di atas sumbu x saja.


 


                y =
                                                                                                                    x        
y = -




Contoh 2
Lukislah grafik  : a). y =  2 +  
penyelesaian :
persamaan dapat ditulis y – 2 =  namakan y – 2 = y1 maka y1 = . Grafik fungsi – y1 =   adalah bagian atas dari parabola. Persamaan sumbu simetrisnya y = 0 atau y- 2 = 0 atau y = 2


 

               y1 = 0                             y = 2 +
                                                                                           x1
                                           (1,2)
                     y = 0
kesimpulan :
          Grafik y = 2 + adalah bagian atas parabola yang sumbunya diturunkan 2 satuan.
Dengan cara sama diperoleh pula:
Grafik y = -3 +  adalah parabola yang sumbu simetrinya dinaikkan tiga satuan.










Contoh 3
Lukislah grafik y = 3 -
Penyelesaian:
Kita perhatikan fungsi
a = -4, D= 256 - 192 = 64> 0, sehingga grafiknya merupakan ellips. Maka grafik fungsi y = +3 -  adalah bagian bawah dari ellips yang sumbu     x nya diturunkan 3 satuan, untuk mencari puncak-puncak ellips maka fungsi  di ubah menjadi . Maka  untuk x = -2, dan (x + 2)2eks = 1 untuk
y1 = 0


 






BAB III
PENUTUP
a.    Kesimpulan
Persamaan irrasional ialah persamaan yang mengandung arti di dalam tanda akar, umpama:  = x – 5.
Persamaan irrasional diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruasnya. Tetapi  Di dalam mengkuadratkan ruas – ruas suatu persamaan perlu diingat dalil
Pertidaksamaan irrasional adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam  tanda akar.
Penyelesaian:
• Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).
• Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
• Selesaikan pertidaksamaannya
• Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.
b.      Saran
Dalam pembutan makalah ini kami menyadari banyak  kekeliruan dan masih jauh dari kata sempurna, Oleh karena itu kami mengharapkan dari semua pihak untuk memberikan kritik dan saran yang bersipat membangun,untuk kelancaran pembuatan makalah selanjutnya. Namun, kami berharap makalah kami bisa bermanfaat bagi kita semua terutama bagi pemakalah…. Amiiin ya Robbal Alamiiin!!!
Daftar Pustaka

Mutadi. 2008. Bergelut dengan si asyik Matematika. Kudus. PT. Listafariska  Putra

habibi-aja.blogspot.com/2008/06/pertidaksamaan.html